Часто математики розв’язують якісь абстракції лише тому, що їм це цікаво

Уявіть собі Нептун. Чому саме Нептун? Та тому, що побачити його неозброєним оком просто неможливо.

Навіть у потужний телескоп його ледь розгледиш: восьма планета Сонячної системи, за 4,3 млрд кілометрів від Землі, що виглядає в небі, мов крихітна біла крапка.

Саме тому з давніх часів нашу уяву вражають планети, розташовані ближче до Землі – такі як Венера або Марс, – адже вони так яскраво сяють ночами.

Що таке математика і звідки вона взялась

А про існування Нептуна ми дізналися лише в XIX столітті. Тому його відкриття було важливим подвійно.

Уран і Нептун

Річ була не лише в тому, що ми знайшли нового сусіда у космосі.

“Нептун відкрив нову сторінку у вивченні Сонячної системи, тому що його виявили, не розглядаючи небо неозброєним оком або за допомогою телескопа”, – стверджує астрофізик Космічної наукової лабораторії Маллард при Університетському коледжі Лондона Люсі Грін.

Нептун відкрили завдяки математиці.

Нептун
Підпис до фото, Нептун відкрили не за допомогою спостережень, а завдяки математичним обчисленням

У XIX столітті закон всесвітнього тяжіння Ньютона був вже глибоко осмислений, і завдяки йому можна було розрахувати орбіти планет, що обертаються навколо Сонця. Всіх відомих планет, за винятком Урана, орбіта якого чомусь не збіглася з розрахунками.

У ті часи Уран вважався найвіддаленішою від Сонця планетою, і деякі вчені навіть припустили, що на такій великій відстані ньютонівські закони можуть не діяти.

Однак інші вчені повністю покладалися на математику, яка підказувала їм, що поблизу Урана має перебувати велике небесне тіло, яке і впливає на його орбіту.

“Вони вирахували, що, як і де має відбуватися, а потім направили телескоп у те місце, яке підказала математика, – і знайшли нову планету”, – пояснює Люсі Грін.

Модель Сонячної системи
Підпис до фото, Астрономи здогадалися про існування ще однієї планети завдяки відхиленню орбіти Урана

Відкриття Нептуна стало незаперечним історичним доказом того, що математика – це не вигадка, а реальність.

Саме це і зацікавило слухача програми ВВС CrowdScience з Перу Серхіо Хуаркайо.

“Від Галілея, який міг назвати швидкість кулі, що котиться донизу схилом, і до, наприклад, бозона Хіггса, існування якого довели математичним шляхом – до того, як виявили саму частку, – ця здатність передбачати існування речей, які ніхто не бачив, здається мені приголомшливою”, – написав Серхіо.

“Що таке математика: модель, опис, метафора реальності – або сама реальність?”

Серхіо не єдиний, кого хвилює це питання.

Філософи розмірковують над ним уже тисячі років, і він продовжує слугувати приводом для глибоких розбіжностей.

Не буває “від’ємного” торта

Майже ніхто не сумнівається в тому, що людство взялося за математику з суто практичних міркувань: людям треба було вести рахунок і робити вимірювання. З цього і почнемо.

Візьмемо, наприклад, торт.

Торт
Підпис до фото, Торт або є – або його немає …

Математика багато чого може розповісти про торт: якого він розміру, скільки важить, як і на скільки частин його можна розділити. Це все дуже відчутні речі.

Але той самий торт може продемонструвати, що математика здатна піти значно далі, ніж реальність.

Якщо з’їсти третину торта, від нього залишаться дві третини.

Поки що все просто. Якщо з’їсти ще одну третину, а потім – ще одну, від торта не залишиться нічого.

“Так ми описуємо межі мислення стародавніх людей, – пояснює автор книг з математики Алекс Беллос. – Вони застосовували практичну математику для вимірювання і розрахунку, але вони не знали про від’ємні числа”.

купа доларів
Підпис до фото, Винайдення грошей дало змогу наочно представити концепцію від’ємних чисел

Якщо ваше уявлення про реальність містить лише предмети, які можна виміряти або порахувати, то вам важко уявити щось менше ніж нуль.

Про борги і від’ємні числа

Щойно ви з’їли торт до останньої крихти, він закінчився: від’ємного торта не буває.

І все ж, за словами Беллоса, існує сфера, в якій ви оперуєте від’ємними числами, і це здається вам цілком природним.

Він має на увазі гроші: “Можливо, у вас є гроші, а можливо – ви комусь щось винні. І перше практичне застосування від’ємних чисел відбулося в контексті бухгалтерії і боргів”.

Якщо ви заборгували комусь 5 доларів, а я дам вам цю суму, то у вас залишиться 0 доларів. Це та реальність, у яку нас вводять від’ємні числа.

Сьогодні неможливо уявити математику без від’ємних чисел, і справа не лише в боргах.

Поки що ми не виходили за рамки реальності. Але коли починаєш грати з від’ємними числами, відбуваються дивні речі.

Неймовірна загадка

Якщо помножити від’ємні числа одне на одного, отримаємо позитивний результат.

-1 x -1 = 1, і ось тут на нас і чекає справжня загадка.

Якщо рівняння містить і додатні, і від’ємні числа, то нескладно отримати такий результат:

рівняння
Підпис до фото, Це математичне рівняння може завести у глухий кут

“Тут виникає закономірне питання: що це за чортівня? Як знайти число, яке під час піднесення до квадрата дає -1!”, – вигукує Беллос.

“Це точно не додатне число, тому що, коли їх підносиш до квадрата, результат завжди позитивний. Але це не може бути й від’ємне число – саме з тієї ж причини”, – пояснює він.

“Коли люди вперше з цим зіткнулися, вони вирішили, що це абсурд. Однак з часом математики почали говорити: так, абсурд, але його можна використати в роботі – адже відповідь ми отримуємо правильну. Тому нехай філософи осмислюють, як таке можливо, – а нам, математикам, потрібні відповіді. Якщо це незрозуміле число допомагає знайти відповідь, то й добре”.

Тут ми втрачаємо зв’язок з реальністю. Але математика продовжує допомагати її пояснювати.

Уявні числа

“Квадратний корінь з -1 називають уявним числом. Це жахлива назва, тому що вона ніби говорить нам, що досі математика була реальною – і раптом стала уявною”, – говорить Беллос.

“Але математика була уявної від самого початку. Ми можемо розмірковувати про три торти – проте бачимо лише самі торти, ми не бачимо “три”, “три” – це абстракція”, – підкреслює Беллос.

Цифра 3
Підпис до фото, Існує слово “три” і цифра 3, проте число 3 – абстракція, як і всі інші числа

“Те ж саме – з уявними числами. Це здається божевіллям, але коли починаєш розуміти їхню роль, то все виглядає дуже логічно. А для опису мовою математики таких явищ, як гармонійні коливання, найкраще підходить сукупність речових і уявних чисел. Таку сукупність називають комплексним числом”, – продовжує він.

Нині квадратний корінь з -1 (його позначають буквою i) настільки ж реальний, як і саме число -1, переконані математики. Навіть якщо нам так само складно уявити i, як нашим далеким пращурам було важко зрозуміти, як чогось може бути -1.

Не хвилюйтеся

Якщо ви заплуталися, не хвилюйтесь, просто читайте далі – і все стане зрозуміло.

Комплексні числа дозволяють вирішувати деякі рівняння, для яких не існує рішень у дійсних числах.

Ці числа надзвичайно корисні для розуміння реальності і слугують ідеальним інструментом для опису і розуміння практично будь-яких процесів, пов’язаних з коливаннями і хвилями.

Їх широко використовують в електроніці, радарах, під час медичного сканування. Вони також допомагають зрозуміти поведінку субатомних часток.

Але як щось, що існує лише у світі математичних мрій, може при цьому бути настільки корисним у реальному світі?

Дехто, на кшталт угорського фізика Юджина Вігнера, вважав це практично дивом.

1960 року Вігнер написав фундаментальну статтю про комплексні числа під назвою “Незбагненна ефективність математики в природничих науках”.

Рахівниця
Підпис до фото, Якщо математика – це інструмент, що допомагає нам зрозуміти реальність, то чому ми дивуємося, коли це відбувається?

Неосяжна ефективність

Але якщо математика від самого початку була вигадана людьми саме для опису реальності, то здається абсолютно логічним, що вона й виконує цю функцію. Що ж в цьому незрозумілого?

Звернімось до людини, яка працює на межі математики і філософії, – Еленор Нокс займається філософією фізики.

“Ми дійсно винайшли математику для розуміння фізичних систем, і було б логічним, якби вона виконувала лише це завдання. Але математика стала розвиватися іншим шляхом”, – пояснює пані Нокс.

“Часто математики розв’язують якісь абстрактні завдання лише тому, що їм це цікаво – і тільки потім виявляється, що саме ці обчислення були необхідні для здійснення якогось важливого відкриття у фізиці”, – говорить вона.

Як приклад Нокс наводить неевклідову геометрію – сукупність теорій, якими чимало математиків захоплювалися наприкінці XIX століття лише тому, що це було їм цікаво.

“Вважалося, що весь наш світ можна описати за допомогою евклідової геометрії – тієї самої, яку вивчають у школі. Наприклад, там є теорема, що доводить, що сума кутів трикутника дорівнює 180°”.

Математики 1800-х років не збиралися спростовувати евклідову геометрію. Вони просто вели дослідження – і виявили цікаві математичні структури.

Велика арка Дефанс в Парижі
Підпис до фото, Неевклідова геометрія дозволила нам побачити форми, які раніше виникали лише в головах у математиків

“Коли вже в XX столітті Альберту Ейнштейну довелося описати закони простору-часу в рамках теорії відносності, на допомогу йому прийшла саме неевклідова геометрія. Без неї у нього б просто нічого не вийшло”, – говорить Нокс.

“Сьогодні ми вважаємо, що світ має саме таку геометричну структуру, яка колись вважалася дивною і незрозумілою. При цьому ніхто з математиків, які починали над нею працювати, не міг передбачити це конкретне відкриття”, – робить висновок філософ.

Такі приклади змушують нас думати, що зв’язок математики з реальністю якщо не магічний, то принаймні дивовижний.

Засаднича реальність

З розвитком сучасної фізики нам, простим смертним, все складніше розуміти складну математику і ту дивну реальність, яку вона описує.

Але, можливо, в цьому немає нічого дивного. Адже немає жодних причин вважати, що повсякденна реальність – це і є головна реальність Всесвіту.

Дивно, але за допомогою математики, здається, можна досліджувати набагато більше, ніж дозволяють наші органи чуття.

Чи настане той момент, коли в пошуку засадничої реальності математика досягне межі у своїй здатності описувати цю реальність?

“XX століття дало нам дві найбільш успішні фізичні теорії: теорію квантової механіки (описує поведінку надмалих часток на атомному і субатомному рівні) і теорію відносності, – говорить Нокс. – При цьому виявилося, що поєднати математику цих двох теорій – неймовірно складне завдання”.

Ілюстрація Теорії струн
Підпис до фото, Математика дає нам можливість заглянути набагато далі, ніж дозволяють наші органи чуття

“У нас немає несуперечливої моделі, яка допомогла б зрозуміти, як ці дві теорії можуть співіснувати в одному світі й описувати одну і ту ж реальність, – продовжує експерт. – Доводиться мати справу з неймовірно складними концепціями, не маючи нині можливості підтвердити свої висновки експериментально”.

Як ми вже бачили, багато що починалося з ідеї, яка чекала на своє практичне застосування. Але, можливо, ми вже досягли межі?

“Сьогодні можна сказати, що до цього часу нам дуже і дуже щастило з тим, як математика описувала наш Всесвіт, – говорить Нокс. – Однак є й інша точка зору – що математика здатна описувати лише окремі елементи цього світу, але не весь цілком”.

“Або що зрозуміти світ у повному обсязі взагалі дуже важко. Або що ця математика надто складна для нас і нам з нею не впоратися. Або що ми досі її так і не зрозуміли, але рано чи пізно зрозуміємо”, – продовжує вона.

Велика різниця

Можливо, не варто дивуватися тому, що іноді страшенно важко пов’язати закони математики із законами фізичної реальності. Зрештою, це ж не різні речі.

Як сказав свого часу Ейнштейн, “чим більше математичні закони прив’язані до реальності, тим менш вони надійні, а чим більше вони надійні – тим далі вони від реальності”.

1 + 1 = 2
Підпис до фото, 1 + 1 = 2, і це не підлягає сумніву …

“У математики є така властивість: вона або абсолютно правильна, або абсолютно помилкова, – пояснює Нокс. – Якщо я доведу щось математичним шляхом, вже ніхто не зможе це заперечити”.

“З фізичними законами інша справа, і в цьому їхня кардинальна відмінність. Ми нерідко помилялися із законами. Закони Ньютона чудові, витончені й застосовуються у багатьох конкретних випадках, але вони не містять остаточної істини. І немає жодних сумнівів, що в майбутньому доведуть, що і закони Ейнштейна є також приблизними”, – пророкує філософ.

Відкриття або винахід?

Звідки взялася математика?

Це велике питання для самих математиків.

Богиня Сешат
Підпис до фото, У стародавніх єгиптян була навіть богиня математики Сешат

“Я дійсно вірю, що відкриваю нові концепції і винаходжу шляхи роздумів над ними, – стверджує Юджинія Ченг з Чиказького інституту мистецтв. – Коли я проводжу абстрактні дослідження, мені здається, що я блукаю абстрактними джунглями у пошуках різних речей – а потім вигадую спосіб розповісти про них і підвести під них свою теорію, щоб упорядкувати свої думки і доступно їх пояснити”.

Ченг працює у сфері теорії категоризації (іноді її ще називають “математикою математики”), завдання якої – звести мости між різними сферами математики.

Що є реальність?

Важко уявити собі щось ще більш абстрактне, тому ми запитали пані Ченг, чи вважає вона, що та математика, яку вона вивчає, має відношення до реальності?

“Коли люди запитують мене про реальність, я хочу запитати у відповідь: а що таке реальність взагалі? – говорить вона. – Те, що ми називаємо реальністю, – це галюцинації, які ми вважаємо реальними лише на тій підставі, що сприймаємо їх однаково”.

“Люди кажуть, що числа нереальні, оскільки їх не можна помацати. Але при цьому є чимало цілком реальних речей, які не можна помацати – наприклад, голод”, – пояснює Ченг.

Абстрактний живопис
Підпис до фото, Абстракція – це не обов’язково щось нереальне

“Ось чому я вважаю за краще говорити про конкретні речі – ті, що можна помацати, з якими можна взаємодіяти безпосередньо, – і про абстрактні речі, якими ми оперуємо у нашій свідомості”.

“Математика – річ абстрактна, але абстрактна ідея може бути такою ж реальною, як будь-що інше”.

А що є реальним?

З одного боку, можна стверджувати, що математика – це реальність.

Візьміть, наприклад, біологію, яка заснована на хімії, – яка, своєю чергою, керується законами фізики – і … ми приходимо до чисел.

Або уявіть блакитне небо, колір якого пояснюється довжиною хвиль відбитого світла, – і … все це також числа.

Числа
Підпис до фото, Числа оточують нас усюди

Здається, якщо копнути фізичну реальність глибше, – у будь-якому випадку натрапиш на математику.

Однак, математика не може розповісти нам нічого істотного про такі найважливіші в житті речі як кохання, мораль або навіть голод.

Тому з усіх справді великих питань впевнено ми можемо відповісти лише на одне: напевно, ми так і не знайдемо остаточної відповіді на питання, поставлене перуанцем Серхіо Хуаркайа.

Але пошукати відповідь все одно було варто.

ввс

і